「どうして／なんで／なぜ」はどう使い分けますか。また、ある学生は「前の日本人の先生に、日常会話では“どうして”は使いませんと教えられました」といってます。本当ですか？
用法の違いは（例えば、「どうして」に「どのようにして」という意味があるなど）ありますが、原因や理由を問題にするという点に関していえば、意味に大きな差はないように思います。
ただ、語感には差があり、（私の場合は）「なぜ」が文章語的でやや丁寧、「なんで」が口語的でややぞんざい（目上には使いにくい）であると感じます。また、日常の会話では「なんで」をもっともよく使っているように思います。話しことばで「どうして」というと、「なんで」よりも形式的な感じ、あるいはやや年長の人のような印象があります。
日常会話では“どうして”は使いません
ということはないと思います。ただ、「どうして」はやや形式的な語感のある語なので、日常会話で使うと違和感を感じる人がいるということはあるかもしれません。例えば、日常的なおしゃべりで「昨日どうして来なかったの？」というと、「約束していたはずでしょ？」とか「来なかったのは良くない！」などと非難している意味に受けとられてしまうかもしれません。