「メールを見る」「インターネットをする」はいいますか？「メールを見る」は大丈夫だと思いますが、「インターネットをする」はどうかね？
現実問題としてどちらの言い方も使われます。個人的には、メールは「読む」のだと思いますし、インターネットというのはネットワークのハードの部分（サーバの総体）をいうのだと思うのですが。