「やり方」と「しかた」の違いは何ですか？
「しかたがない」のような連語や「しかたない」のような形容詞形は「やりかた」にはありません。また、「〜の…」というときには「しかた」と続くことが多く、「やり方」は単独で使われることが多いように思います。ただ、「うまくできないのは、お前のやり方が悪いんだ。」のように「〜のやり方」と言えないわけではありません。
「しかた」と「やりかた」とは、動詞の「する」と「やる」の違いに対応した意味合いや用法の違いがあるように思います。以下に、少し考えてみます。
「する」も「やる」も（動作性の）名詞を受けて〈主体が状況を成立させる〉という共通の意味をあらわします。「みんなでサッカーをする。」と「みんなでサッカーをやる。」とは、どちらも、主体である〈みんな〉」が〈サッカー〉という状況を成立させるという意味です。よりわかりやすい言い方をすれば、〈ものごとを行なう〉という意味だとえます。ただ、次の用法には共通性がありません。
また、「やる」には、特定の動詞（句）の代わりをするという機能があります。「煙草をやる［＝好んでのむ］。」「今の給料ではやっていけない［＝安定して生活していけない］。」「競馬でずいぶんやられた［＝負けて損をした］。」のように使われます。この場合、「やる」が代行する動詞（句）は、主に慣用的なものですが、直接は表現しにくい事柄が多いといえます。そのため、以下のような解釈の傾向があると思います。
〈主体が状況を成立させる〉という意味での「する」と「やる」との違いは、「やる」の方がくだけた表現（俗語的）で、意志性がより明確だと考えられます。
そのため、「やる」には文脈の制限が強く、「する」の方がより多くの語に一般的に接続することになります。
以上のことから、「しかた」と「やり方」とは、〈行為や行動の方法〉という点では共通していますが、「やり方」の方が意志性が強いといえそうです。
また、「しかた」の方が、より多くの文脈で使うことができるようです。これは「する」の方が一般的に用いられるのと同じです。
なお、すでに述べたように、「やる」は〈ある状態になる意味〉を表わさないので、〈ある状態になる手段〉という意味で「やり方」を使うとおかしくなります。